微分方程

概念

• 微分方程表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。

• 阶: 未知函数的最高阶的导数叫阶数

• 一般形式: $F(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})$

  如果最高阶导数可以被解出，则有 $y^{(n)}=f(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})$

• 解: 找到令方程变为恒等式的函数

• 通解: 解中含有任意常数，且常数的个数与阶数相同

• 初值条件: 给出特定 $x$ 下， $y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)}$ 的值，此时求出的解为该条件下的特解。

• 可分离变量: 形如 $g(y)dy=f(x)dx$ 的形式

  如果 $f(x)$, $g(y)$ 连续，且有 $g(y)\ne 0$，则可以积分出 $G(y)=F(x)+C$

  令 $\Phi (x)=\frac{F^{\prime }(x)}{G^{\prime }(y)}=\frac{f(x)}{g(y)}$，则 $y=\Phi (x)$ 即为通解。

• 齐次方程: 可化为